关于量子的笔记（一）
一 前言
这里基本上是吴飙老师的《简明量子力学》的读书笔记，这本书原文可以在他的个人博客上下载。
我阅读此书的目的是满足好奇心和入门量子计算，对深入研究理论物理不甚感兴趣。
首先为了理解什么是量子力学，我们先讲述量子力学的六个颠覆性的观念：
- 量子性：
量子是物理中各种场的最小单位激发。激发指的是通过输入一些能量来扰动一个物理系统。也就是说，经典物理中认为可以任意小的扰动在量子中被认为是不可能的，激发必须为一个最小单位的整数倍。能量与物质一样，是由”粒子”组成的。我们在生活中感受不到这一点，因为这样的一份特别小。但是在实验室中早已可以达到这个精确度。
- 不确定性原理：
在经典力学中，一个物体的位置和速度可以同时确定，但在量子世界，我们对其中一个值的确定程度越高，对另一个值的确定程度越低。这有点像雷达测速，但不同的是在量子世界，这是量子本身的属性而非技术问题。我们在生活中感受不到这一点，因为我们对速度和位置的把握以量子尺度来看十分的不精确。但是对于一些工业领域，这已经开始产生影响。同时这说明了即使在绝对零度也没有绝对静止的原子，这成为零点振动，也故氦在绝对零度仍然是液态。
- 态叠加：在量子世界里面，一个量子属于叠加态直到它被测量，一种戏剧性的描述是”薛定谔的猫”：在我们打开箱子之前猫是既死又活的，一盆水也可以既是冷的也是热的，鞋子可以既是左脚又是右脚。这和经典世界完全不同：经典世界里面没有测量之前的”随机”只是我们不知道，但是我们相信它一定是早已确定的。
需要注意的是”既A又B”只是一种方便理解的说法，叠加态实际上是A与B之外的第三态，这需要用到矢量表示。
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量子随机性：
在量子世界里的随机是绝对的，在测量导致的叠加态坍缩之前，没有任何隐含的变量决定。这和经典的随机性很不同：在抛一枚硬币的时候，实际上你抛的方向和力度，以及跌落的平面形状等等已经决定结果，只是我们将不知道的事情处理为随机。而量子世界不存在这种决定，哪怕你直接竖直扔下一个硬币它正面或反面朝上的可能性依然是二分之一。 - 量子全同性：
在量子的世界里，相同是绝对的，任意来能够个电子或者光子没有任何可能区分开。这和经典世界里面物体的相同完全不同，经典世界里相同是近似的，只是我们没有必要做出区分的时候的一种处理。量子的全同性甚至会出现在概率统计里:抛两枚硬币在经典世界里面世界上有四种等可能的结果：两个都正，一正一反，一反一正，两个都反，这使得两个都正或都反分别占四分之一的可能，一正一反占二分之一可能。而量子世界的硬币只有三种等可能的状态：都正，都反，一正一反，分别占三分之一的可能。
- 量子纠缠：就像你离开家以后发现你只带了左手的手套，你会立即知道落在家里的那一只是右手的，这只在我们事先知道两个手套是一对的情况下发生。但是回忆前面提到的态叠加，全同性和随机性，在我们还没有发现只带了左手手套之前，两个手套应该还处于叠加态。在我们发现自己的手套坍缩为左手的瞬间，我们立即知道另外一个手套必然坍缩成右手，而这两个过程都是绝对随机的。谁瞬间告诉另一只手套和它”纠缠”的手套已经坍缩成左手了呢？爱因斯坦不能接受这种超距作用，他认为背后存在隐变量，但后面会提到的贝尔不等式实验否认了这一点。除了超距关联之外另一个惊人的性质在纠缠的量子会”失去自我”，双方同时具有自己和对方的性质。
我们在生活中感受不到这一点，因为量子的坍缩在任意物体的互动的一瞬间完成。我们也没有足够的距离发现两个纠缠的量子的”超光速通讯”。但在实验室中已经被证实，并且应用在量子计算和通讯上。
二 量子故事会
本段参考了多本书籍，维基百科和田光善老师的故事会。尝试详细的还原量子力学创立的过程，但无法保证历史学者的严谨和考究。希望可以给予我自己和读者的科学思维以灵感。
2.1 孕育之路
19世纪末到1905年，这是一个群星璀璨的时代。但对于量子力学来说，最重要的人物是普朗克。(1900.12.4)
动力学理论断言热和光都是运动的方式，现在这种理论的优美性和清晰性被两朵乌云遮蔽得黯然失色。–开尔文男爵 威廉 汤姆森
物理学的大厦已经建成，之后的工作只不过是小修小补。–迈克尔逊
这句话以”两朵乌云”的形式耳熟能详，这两朵乌云–现在通常被认为是黑体辐射和光速不变的问题，但历史上指的是：
第一朵是随着光的波动论而开始出现的。
菲涅耳和托马斯 杨研究过这一个理论，它包括这样一个问题：地球是如何能够通过光以太这样的弹性固体运动的呢？
第二朵乌云是麦克斯韦-玻尔兹曼关于能量均分的假说。
在这里，第一朵乌云催生了相对论：麦克斯韦方程组以一种近乎完美的方式统一了电与磁，却留下了一个问题：其中的c常数，也就是真空中的光速。但从牛顿开始，我们明白了没有绝对的静止和绝对的速度，那么这里的光是相对于什么运动的呢？
在19世纪末，物理学家们假设存在一种介质，称为以太，而光就是相对它运动的，那么地球一定是从以太中穿过，并且能检测到地球运动方向上光速的细微不同吧？然而，迈克尔逊-莫雷试验确认了不存在这样的”以太风”。同时另一个问题是水星近日点进动问题，其观测数值与牛顿力学的预测存在些许差距，但是在没有更好的理论的情况下，牛顿力学依然被所有人接受。
直到1905年，还作为瑞士专利局职员的爱因斯坦发表了相对论的第一篇文章《论动体的电动力学》，并在接下来的十年间完善了相对论，使得上面两个问题被解决，我们不再需要以太这一个假设，在所有的惯性参考系中光速不变。不过由于这是一篇讲述量子力学的文章，我们省去了很多细节。
这里重点讲述的是第二朵乌云：它与黑体辐射的问题有关。
在20世纪初始的时代，物理学的理论已经足够完备了，但还有几个问题没有得到答案（前面讲过的那些暂且按下不表）：第一个是黑体辐射，第二个是光电效应，第三个是原子的线状光谱，第四个是原子的稳定性问题。下面我们会一个个的讲述。
第一个问题是黑体辐射的问题，我们知道，当一束光（电磁波）照射到一个物体上的时候，有一部分会被反射，而另一部分会被吸收。吸收得越多，物体就会显得愈加的晦暗。当某一个物体吸收了所有照射到它的电磁波（当然这是不可能的，我们假设存在这么一个理想的物体），那么它会呈现完全的黑色，我们称它为绝对黑体。现实中最为接近的方法是做一个空腔，内壁使用吸光材料，并且在它的表面开一个小洞，射入洞的光经过内壁的多次反射几乎不会射出，此时这个洞可以近似看作绝对黑体来进行黑体辐射的测量实验。
由于电磁波是带有能量的，而能量不会消失，被吸收的电磁波的能量转化为了黑体的热能，为了与周围的环境保持热平衡的状态，黑体必须将这部分能量以电磁波的形式释放出去，这就是黑体辐射，但黑体放出的光不再和入射光是相同的颜色（频率）了，它在不同频率的能量分布会是什么样的呢？这就是黑体辐射问题。测量黑体辐射的一大用处是用于改良当时十分重要的电灯，同时正值钢铁和化工等重工业快速发展的时期，制造更好的高温温度计、光度计、辐射计等仪器的需求也迫在眉睫，所以这个问题相当重要。
当然，这个问题可以用实验解决，很快这个曲线被德国帝国技术物理研究所(PTR)的普林舍姆和卢梅尔很好的测量了，它的图像现在可以在互联网上很容易得找到。但是作为物理学家，现在的问题在于要给出这条曲线的公式并且赋予其物理意义。
首先在1896年他们的同事维恩(Wien)给出了他的公式，这是从电磁理论与热力学理论得到的。作为故事会这里就不放公式了，这称为”维恩分布定律”。这个公式的图像与曲线基本吻合，美中不足的是低频区段有一些不符合。但是对于经典理论来说，这足够好了。事实上这是经典理论对解释黑体辐射最好的一次尝试，为此维恩在1911年获得了诺贝尔奖。
但是毕竟这个理论还不够完美，之后有许多人对其进行了改进，其中最有名的是瑞利-金斯公式，这一公式是从统计力学的能量均分假说推出的，如果你还记得的话，这是刚才提出的第二朵乌云。这个公式在1900年由瑞利提出（如果你还记得瑞利散射解释了为什么天空为什么是蓝色的，没错，就是这个瑞利），1905年由金斯改进，而这个公式更加的离谱，它在高频区段的能量直接一飞冲天，直奔无限大，这显然是不可能的，被称为”紫外灾难”。
1894年，在柏林大学任教的普朗克也做出了相同的决定，开始研究黑体辐射。最早研究黑体辐射的就是他的前任基尔霍夫，他在31岁时接替基尔霍夫的位置并在三年后成为正教授。在接下来的六年里面，普朗克基本上没有任何进展，最好的成果就是从不同的方向得到了和前人一样的结果。1899年到1900年，随着实验方法的改进，维恩公式的预测与实验结果的差异已经越来越明显，不能用误差来解释。普朗克重新审视了自己的理论，很快发现（似乎是瞪眼法猜出来的）推导维恩公式时只要稍稍改变一个熵的表达式就可以得到一个新的黑体辐射公式。（另外一个说法是，他通过泰勒展开把维恩公式和瑞利金斯公式拼了起来，但是考虑到这个时候瑞利公式才刚刚出现，这不太可能）
这个公式与实验结果完全符合，但是普朗克并不满意，因为他并不理解自己的公式——为什么需要改动熵的表达式，以及这个公式的物理意义是什么。经过了一个多月的努力之后，普朗克找到了答案：他假定处于辐射场中的电偶极振子的能量是一份一份的，每一份的大小正比与振动的频率。也就是说可以把能量写成hv,其中h是一个常数而v是振动的频率，利用这个假设和玻尔兹曼熵的公式，普朗克改写成了新的形式：
这个公式十分重要，我们不得不在这里放出来，如果会造成你的不适，请跳过这一段的阅读。
\(u(v)=\frac{8\pi hv^3}{c^3} \frac{1}{e^{hv/k_B T}-1}\) 其中$h$是普朗克常数，$k_B$是玻尔兹曼常数，$v$是电偶极振子的频率
这个公式在的推导在数学上是一次平庸的变换，但是在物理上是革命性的。然而在此处普朗克的推导还是错的，直到1924年玻色才给出了正确的推导，这会在后面量子的全同性那里提到。普朗克在接下来柏林科学院召开的一个会议上宣布了这个结果，这一天是1900年12月4日，被认为是量子力学的诞生日。这使得量子力学成为了少数有明确诞生日期的学科之一。
2.2 量子初现
1905年左右，主要是爱因斯坦的工作
普朗克的黑体辐射公式逐渐被越来越多的实验所验证，但是包括他自己在内，没有人关注他所提出的”能量需要被看作一个整数倍均分单元的离散量，而不是可以无限细分的量”这一解释的颠覆性，在接下来的数年里，普朗克一直在尝试重新用经典的理论解释自己的公式，这自然是徒劳的，也导致他后来在量子力学领域几乎毫无贡献。
然而这样伟大的结果不可能被忽视，洛伦兹从1903年开始关注这个问题，并且最终得出了结论：普朗克的理论与经典物理是无法调和的。洛伦兹在以太风被实验否认后提出了洛伦兹变换来抢救以太理论，但洛伦兹变换在后面的相对论里面起到了重要作用，并给以太理论彻底盖上了棺材板。由于洛伦兹在学界的声望，普朗克的理论引起了更多人的注意，其中包括了瑞士专利局的一位年轻职员，阿尔伯特爱因斯坦。
这里我们讲到第二个问题，光电效应：这是赫兹在做实验时偶然发现的现象，当光照射到金属片的时候会引起电流。长久以来，光是什么就是一个饱受争议的话题，牛顿等人认为光是粒子，因为这样可以更好的解释光的反射和折射，以及没有障碍时沿直线传播。而另一些人认为光是波，因为粒子说无法解释光的干涉和衍射等现象，并且与折射，反射，直线传播等现象也不矛盾。双方争执不休，直到19世纪末麦克斯韦方程组的提出，这个争议似乎有了定论：光是一种电磁波。
赫兹敏锐的察觉到偶然发现的现象并不一般，他放下了手头的工作，开始专门研究光电效应。通过使用不同频率的光进行实验，他发现了一个奇怪的现象：光电效应产生的电流强度似乎只与电磁波的频率有关，更具体的说，只有频率在紫光或者更高于紫光的光线才会打出电流。这与经典的理论是不符合的，如果是电磁波影响了金属中的电子，那么电流的强度应该与电磁波的振幅，也就是光线的强度正相关才对。这是显而易见的–电磁波整体作用于整块金属，用的”力量”越大，就可以”打”出越多电子。而这个时候，粒子说似乎又找回了一点场面：如果光是一个个离散的粒子，这就可以解释得通了。只有能量足够大的”球”可以”打”出金属块中的电子，如果单个光”球”的能量不足以打出一个电子，那么光的强度，也就是”光球”的数目再多也无济于事（这些不全是赫兹的想法，他那个时候还不知道有电子）。但是因为前面所说的干涉，衍射和麦克斯韦方程组都板上钉钉地说明了光就是一种电磁波，这怎么解释呢？爱因斯坦提出了一个大胆的想法：光既是粒子，也是波。出于讲故事的需要，我们暂时按下不表。
下一个问题是原子核的线状光谱，光谱学一直是化学的一个重要的方法：在本生灯上放一些金属粉末的话，就会发出一些光线。使用三棱镜折射这种光线的话，就会将这些光线分成一些谱线。这些谱线的特点有，呈线状（而不是太阳光一样的连续），并且看起来好像毫无规律可言。长期以来，光谱学已经广泛应用，但还只是一种经验科学。化学家明白不同的元素有不同的光谱，并且使用光谱对比来分析一种物质中含有哪些化学元素。
巴尔莫（Balmer）是瑞士的巴塞尔地区的一位数学教师。瑞士是阿尔卑斯山中的一个国家，每年都有漫长的冬天，大约是每年的10月到第二年的4月底。在漫长的冬天里瑞士人没有太多的事情可做，很多人开始找事情消磨时光，其中最有名的大概是手工艺了，直到今天瑞士的手表还闻名于世。巴尔莫则不一样，他喜欢做一些智力游戏，比如说数字游戏。据说告诉他一个羊群的数目（瑞士有很多牧羊人，羊群数目是当地特色的随机数发生器），他可以立即回答出这个数字是哪些质数或者质数平方的和。巴尔莫与一个研究化学的朋友，哈根拜希（E.Hagenbach）闲聊，他觉得自己在数字游戏方面已经没有什么可以难倒他了。于是哈根拜希给了他一段氢原子的光谱，问他可不可以用一个公式来描述，结果是他在两个星期之内就做到了。巴尔莫成为了第一个找到公式来表示原子光谱的波长的人，但他自己也不知道为什么是这样。没有人知道为什么是这样，这件事完全超过了当时科学所解释的范围。
最后一个问题是原子核的稳定性问题。原子是一个非常老的理论，在古时候就有这样的争议：一个物体如果不断分割，最终会永远不停的分割到无穷小，还是会分割到某个不再可以分割的最小单位？古希腊和古印度都有这样的理论，并且给出了沿用至今的atom这个词（a-不，tom-分割，直译为不可分割，当然今天已经作为专有名词来表示原子的特定概念，即使我们发现原子也是可以继续分割的），但那时候还是纯粹的哲学思辨。直到1661年，自然哲学家波义耳发现物质不是由传统的”地”“水”“火”“风”四大元素组成，而是数十种微粒组合而成。1789年，拉瓦锡定义了化学元素，从此元素用来表示化学变化中的最小单位。1803年道尔顿正式创立的现代原子论，用三条要点阐述了他的思想：
- 化学元素由不可再分的微粒组成，在化学变化中始终保持其不可再分性，我们称其为原子。
- 同一元素的所有原子，在质量和性质上都相同。不同元素的所有原子，在质量和性质上都不相同。
- 不同元素化合时元素的原子按照简单的整数比来结合成化合物。
这三条要点十分简洁（当然今天看来是简陋），但由于缺乏更让人信服的证据一直没有被广泛接受，一直到19世纪末原子模型的提出。1897年约瑟夫汤姆森对阴极射线的研究说明了原子是由带正电荷的物质和带负电荷的电子组成的，他在1904年提出了原子的枣糕模型，认为带负电的电子均匀的悬浮分布于带有正电的物质中。伦琴因为x射线拿下了第一块诺贝尔奖，掀起了科学界一阵研究射线的热潮。法国地质学家贝克勒尔在1905年在尝试了很多种矿物之后，发现铀盐可以自然产生很强的射线，之后居里夫妇提炼出了铀单质，他们分享了1903年的诺贝尔奖。卢瑟福提出了半衰期的概念，将放射性射线按照穿透能力分为$\alpha$和$\beta$射线，并让射线通过磁场，发现$\alpha$射线是带正电的，实际上是氦离子，$\beta$射线是带负电的，他获得了1908年的诺贝尔化学奖。
1911年，卢瑟福开始了这样的一个研究：他之前的工作发现$\alpha$粒子是带正电的,他尝试用$\alpha$射线去轰击一块很薄的金属箔，并在后面放置荧光屏，看看会发生什么。荧光屏上的反应非常暗，这个实验必须先在暗室中坐十分钟，等瞳孔放大之后再瞪大眼睛去数荧光屏上微弱的发光。这种吃力而又无趣的实验显然都是给研究生做的，卢瑟福把这个实验交给了自己的学生盖革。盖革没有办法，只能每天用几个小时时间进行这个痛苦的计数。盖革觉得这大概是世界上最无聊的事情了，后来他发明了盖革计数器，这是后话。
有一天卢瑟福突发奇想：盖革一直在正面计数，而金属箔的侧面和后面会不会有什么反应呢？他在金属箔的侧面和后面也放上了荧光屏，然后他发现：大多数的射线穿过了金属箔，但有少数打到了侧面，极少数甚至几乎原路返回，这就像一个五寸的炮弹打在竹帘上却被弹回来了，卢瑟福觉得这是不可思议的。他接替了盖革开始亲自做这个痛苦的计数，最终他想到了一个新的原子模型：原子的大部分空间是空的，中间有一个很小的带正电的原子核，外面是带负电的电子围绕其旋转，原子核的尺度比原子小了五个数量级。
但是当卢瑟福将这个结论带给别的科学家时，他的模型几乎立即被否定了。既然电子是带负电的，围绕原子核旋转是做加速运动，那么一定要不断向外辐射电磁波，那么电磁波就会带走一部分旋转的能量，使得电子旋转的半径越来越小，最终跌入原子核。也就是说，这个模型之下的原子是不稳定的，这当然与现实不符，也就成为了经典物理的又一个问题。